기초수학 - 문자와 식

문자를 식으로 표현하는 능력을 배양하는 것은 중요한 일이며 문제를 간결, 명확하게 표현할 수 있고 자신의 생각을 정확하게 전달할 수 있는데 도움이 되므로 이 장에서는 먼저 문자를 사용하여 식을 나타내는 방법에 대해 알아보도록 한다. 

식 : 수나 문자를 +, -, ×, ÷ 등의 연산 기호로 연결한 것을 말한다. 

문자를 사용한 식 : 문자가 들어 있는 식

문자를 사용한 식을 나타내는 방법
1. 수와 문자, 문자와 문자 사이의 곱셈 기호 ×를 생략하고 알파벳순으로 쓴다.
   2 × a = 2 a, x × b × a = a b y
2. 수는 문자앞에 쓴다.
   b × 5 = 5 b
3. 1, -1과 문자사이의 곱에서 1은 생략한다.
   1 × x = x, -1 × x = -x
4. 같은 문자의 곱은 지수를 사용하여 거듭제곱으로 나타낸다.
   
5. 괄호가 있는 곱에서는 곱셈기호 ×를 생략한다.
   (x + y) × 3 = 3 (x + y)


식의 값

식의 문자 대신에 수로 바꾸어 놓는 것을 그 수를 문자에 대입한다고 하며, 대입하여 계산된 결과를 식의 값 이라고 한다.

그리스 대수학자 디오판토스의 묘비명에 새겨진 문제이다. 

"이 무덤 아래 디오판토스 잠들다. 이 경이에 찬 사람 여기 잠든 이의 기예의 함을 빌려 여기에 그이 나이를 적는다. 그는 일생의 1/6을 소년으로 보내고 그후 일생의 1/12를 청년으로 보내고 수염을 길렀다. 그 후 일생의 1/7을 독신으로 보내고 결혼하여 5년 후에 아이를 가졌다. 그 애는 사람의 사랑 속에 아비 생애의 절반을 살고 세상을 떠났다. 이 슬픈 시련을 견디며 지내기를 4년 아비 또한 이 땅의 삶을 마쳤다." 

그는 몇 세의 나이로 일생을 마쳤는지 이 장을 공부하면서 알아보자.

항 : 3x - 5y + 4에서 3x, -5y, 4와 같이 수이거나, 문자이거나, 수와 문자와의 곱으로 된 하나 하나를 식 3x - 5y +4의 항이라고 한다. 

다항식 : 1개의 항 또는 2개 이상의 항의 합으로 이루어진 식 

         예) -3x, y, -5x + 3y, 2x - 7y + 6은 모두 다항식 

단항식 : 다항식 중에서 특히 항이 하나뿐인 다항식 

         예) 위의 다항식 예에서 -3x, y은 단항식 

상수항 : 수만으로 된 항 

 

계수 : 상수항이 아닌 항의 수 부분, 문자 앞에 곱해진 수, 3x에서 x의 계수는 3이다. 

항의 차수 : 다항식의 상수항이 아닌 항에서 문자가 곱해진 개수 
                (보기) 에서 
                          ⇒ 차수 2 
                           ⇒ 차수 1 

다항식의 차수 : 다항식의 항의 차수 중 가장 큰 것으로 각 항에서 최고차 항의 차수. 
                      (보기)           ⇒ 차수 2 (x 에 관한 이차식) 
                             이차항 일차항 상수항

일차식 : 최고차수인 항의 차수가 1인 다항식 
            (보기) 3x+7, x+3, -5x-1

동류항 : 문자와 차수가 같은 항 
            (보기) 4x, -3, 2a, -7a, -3b, +5, -5x,
위의 (보기)에서 동류항은 4x와 -5x, 2a와 -7a, -3과 +5, 과 

동류항끼리의 계산 : 각 항의 계수의 합 또는 창에 그 문자를 곱하여 간단히 한다.
                            (보기) 3x + 2x = (3 + 2) x = 5x 
                                    -4x + 7x = (-4 + 7) x = 3x